來源頭條作者:教育心話

大家好！今天和大家分享一道美國初中數學競賽題：解方程組。題目是一個三元方程組，而且還含有根號，但是不少國內初中生看過題目后都表示這就是一道送分題，甚至很多中考題都比這道題要難。那么我們一起來看一下這道美國的競賽題。

看到第2個方程，不少人第一時間都想到了一個方法：設這個比例的值為k，這是國內初中數學常用的一種處理方法。這樣設出來后，可以得到x=3k，y=4k，z=5k，然后代入第一個方程就得到一個關于k的方程。這個方法實際上也是一種換元法。

換元代入并整理可得到：24k-5√(12k+5)=2這樣一個更簡單的方程。因為含有根號，所以可以將含有根號的移到等號的一邊，沒有根號的移到另一邊，再兩邊平方即可去掉根號，從而得到一個關于k的一元二次方程。這也是一個常規處理方法，難度并不大。

得到的這個一元二次方程的系數比較大，如果用求根公式的話計算量太大，容易出錯，所以先考慮用因式分解的方法求解。

因式分解時，數字較大，不太好計算。觀察數字特點，容易發現常數項的分解方式最少，在整數范圍內只有1×121和11×11兩種，所以考慮從常數項入手。最終可以分解為(48k+11)(12k-11)=0，從而求出k的值。

求出k的值后能夠非常容易得到x、y、z的值。但是k是兩個值，那么需要驗證兩個值是否都滿足題意。經過驗證，k為負數時明顯不滿足題意，所以k=11/12。

上面的方法是一個非常容易想到的方法，但是計算量比較大，而且對得到的k的值還需要討論，過程稍顯復雜。下面來看另外一種換元法，過程就要簡單多了。

設√(x+y+z+5)=t，很明顯t≥0了，并且可以得到x+y+z=t2-5，再代入第一個方程并整理可以得到2t2-5t-12=0。這個方程明顯比解法1中的方程更簡單了。

解出這個關于t的方程后，舍去負數的值，這樣就可以得到x+y+z=11，然后再用第二個方程換元，非常容易就可以得到x、y、z的值。

這道美國競賽題的難度確實不大，用平時最常用的方法就能解出來，所以不少國內學生表示還沒有某些中考題難。你覺得呢？