來(lái)源頭條作者:好玩的數(shù)學(xué)

作者 | 大小吳

來(lái)源 | 大小吳的數(shù)學(xué)課堂

今天大小吳來(lái)和大家探討一個(gè)問(wèn)題：為什么1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)？

1 因數(shù)的個(gè)數(shù)

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以參考六年級(jí)課本上對(duì)于素?cái)?shù)的定義：

“

一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素?cái)?shù)（prime number），也叫做質(zhì)數(shù)；如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)（composite number）.

也就是說(shuō)，如果我們以因數(shù)個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)正整數(shù)進(jìn)行分類，可以得到如下表格：

正整數(shù)因數(shù)情況因數(shù)個(gè)數(shù)1個(gè)素?cái)?shù)1、本身2個(gè)合數(shù)1、本身、其他因數(shù)大于等于3個(gè)

可以看出，1的因數(shù)只有1本身，所以它既不屬于素?cái)?shù)的范疇也不屬于合數(shù)的范疇。這樣就把正整數(shù)分為了1、素?cái)?shù)、合數(shù)三類，用這樣的方式解釋“1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)”似乎也說(shuō)得過(guò)去。

2 素因數(shù)分解的唯一性

實(shí)際上，1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)這件事需要用到“素因數(shù)分解的唯一性”來(lái)說(shuō)明，也即算術(shù)基本定理：

“

任何一個(gè)大于1的自然數(shù) ，如果不為質(zhì)數(shù)，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即

這里均為質(zhì)數(shù)，其諸指數(shù)是正整數(shù).

這個(gè)定理從本質(zhì)上講指的是在對(duì)合數(shù)進(jìn)行素因數(shù)分解時(shí)體現(xiàn)出的以下兩種性質(zhì)：“存在性和唯一性”。存在性指的是一個(gè)合數(shù)的素因數(shù)分解是必然存在的；唯一性指的是這種分解表示是唯一的。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，18是個(gè)合數(shù)，如果我們對(duì)它進(jìn)行素因數(shù)分解，可以得到：

存在性和唯一性都是顯然易見(jiàn)的，因?yàn)槲覀儾豢赡馨?8分解成或是等其他的形式。

3 算術(shù)基本定理的證明

然而在數(shù)學(xué)上，對(duì)于一個(gè)定理我們不能以“顯然成立”這樣的話就把對(duì)定理的證明搪塞過(guò)去了，對(duì)于這件事我們一定要嚴(yán)格證明一遍。首先，在證明算術(shù)基本定理之前，我們需要用到兩個(gè)引理：

“

引理1：當(dāng)和互素時(shí)，如果能被整除，那么也能被整除.

證明如下：因?yàn)楹突ニ兀裕忠驗(yàn)槟鼙徽詾榕c某個(gè)整數(shù)的乘積：

由可知，

將代入，可得：

即

因?yàn)楸厝粸檎麛?shù)，所以能被整除。

“

引理2：如果和無(wú)法被素?cái)?shù)整除，那么其乘積也無(wú)法被整除.

對(duì)于此定理的證明用反證法，且需用到引理1：假設(shè)能被整除，因?yàn)闊o(wú)法被素?cái)?shù)整除，所以，則根據(jù)引理1可知，必然能被整除。然而，這與無(wú)法被整除的已知條件矛盾。所以，不能被整除。

因此，當(dāng)都不能被整除時(shí)，其乘積也無(wú)法被整除。

換句話說(shuō)，當(dāng)能被整除時(shí)，那么或或或能被整除。（逆否命題）

這樣，我們就為證明“分解素因數(shù)的方法只有一種”做好了準(zhǔn)備工作。

接著，仍然用反證法，假設(shè)合數(shù)有兩種分解方法：

消去相同的部分，可得

假設(shè)左邊的素?cái)?shù)和右邊的素?cái)?shù)各不相同（倘若有相同的素因數(shù)，則在上一步時(shí)已經(jīng)消去了），那么根據(jù)引理2，因?yàn)槟鼙徽灾械哪硞€(gè)素?cái)?shù)必然能被整除。也就是說(shuō)必然存在，使得

這與假設(shè)是矛盾的，故上述等式不成立。我們逐一約去等式兩邊相同的素?cái)?shù)，最終可以得到：

也就是說(shuō)，等式兩邊的素?cái)?shù)從一開(kāi)始就是完全相同的。

這樣，我們就證明了算術(shù)基本定理。

4 為什么1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)

我們來(lái)考慮如果把1也納入到素?cái)?shù)中會(huì)出現(xiàn)什么情況，以6為例：

這樣就使得合數(shù)分解素因數(shù)的唯一性不成立了，違背了算術(shù)基本定理。

因此，1不屬于素?cái)?shù)，1也顯然不是合數(shù)，所以1是唯一一個(gè)既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)的正整數(shù)。

參考文獻(xiàn)[1]上海師范大學(xué).初級(jí)中學(xué)課本（試用本）-數(shù)學(xué)（六年級(jí)第一學(xué)期）[Z].上海教育出版社，2019.[2]（日）遠(yuǎn)山啟.數(shù)學(xué)女王的邀請(qǐng)——初等數(shù)論入門[M].逸寧譯.人民郵電出版社，2020.